设n元二次型f（x₁，x₂，…，x_n)的矩阵为n阶五对角对称矩阵试写出二次型的表达式。

设f(x₁，...，x_n)=X'AX是一实二次型。已知有实n维向量X₁，X₂使证明：必存在实n维向量X₀≠0，使X₀'AX₀=0。

设二次型f(x₁，x₂，···，x_n)的矩阵为A，λ是A的特征多项式的根，证明：存在Rⁿ中的非零向量使得

A.f(x₁，x₂，x₃，…，x_n)的标准形是唯一确定的

B.f(x₁，x₂，x₃，…，x_n)的规范形是唯一确定的

C.f(x₁，x₂，x₃，…，x_n)化为标准形的可逆线性变换是唯一确定的

D.f(x₁，x₂，x₃，…，x_n)化为规范形的可逆线性变换是唯一确定的

设f(x₁，...，x_n)是一秩为n的二次型，证明：存在R⁺的一个维子空间V₁(其中s为符号差数)，使对任一(x₁，...，x_n)∈V₁有(x₁，...，x_n)=0。

设Fⁿ={(x₁，x₂，...，x_n)|x_i∈F)是数域F上n维行空间。定义σ(x₁，x₂，...，x_n)=(0，x₁，...，x_n-1)。

(i)证明：σ是Fⁿ的一个线性变换，且σⁿ=θ;

(i)求Ker(σ)和Im(σ)的维数。

设f=x^TAx是一个实二次型，有实n维向量x₁，x₂，使证明：必有实n维非零向量x₀，使

设函数f(x)在[a,b]上连续,a≤x₁＜x₂＜...＜x_n≤b,证明在[a,b]中必有ξ,使得