如果预算线给定。一条无差异曲线U（Qx，Qy)与其相切，试证明切点E的坐标为最优商品组合。切点E为消费

假设消费者的偏好是性状良好的并且无差异曲线严格凸。如图2—9所示因为偏好是性状良好的所以多总比少更受到偏好因此离原点越远消费者效用水平越高。并且要使消费者的效用最大化只需把注意力集中于预算线上的消费束而不考虑预算线以下的消费束。 从预算线的右下角开始向左移动预算线相交于越来越高的无差异曲线当达到刚好与预算线相切的最高的无差异曲线时将相切处的消费束标记为(x*y*)。(x*y*)就是消费者的最优选择因为与(x*y*)相比他更偏好的消费束集(无差异曲线上的消费束集)并不和他能够负担的消费束相交即更高效用水平的无差异曲线并不和预算线有交点；并且如果无差异曲线与预算线不相切那它就会穿过预算线那么在预算线上就会有某个邻近的点处在无差异曲线的上方这时的交点尚未处在最优消费束上。因此只有切点处的消费束(x*y*)才是消费者能够负担的最优消费束。
假设消费者的偏好是性状良好的,并且无差异曲线严格凸。如图2—9所示,因为偏好是性状良好的,所以多总比少更受到偏好,因此,离原点越远,消费者效用水平越高。并且要使消费者的效用最大化,只需把注意力集中于预算线上的消费束,而不考虑预算线以下的消费束。从预算线的右下角开始向左移动,预算线相交于越来越高的无差异曲线,当达到刚好与预算线相切的最高的无差异曲线时,将相切处的消费束标记为(x*,y*)。(x*,y*)就是消费者的最优选择,因为与(x*,y*)相比,他更偏好的消费束集(无差异曲线上的消费束集)并不和他能够负担的消费束相交,即更高效用水平的无差异曲线并不和预算线有交点；并且,如果无差异曲线与预算线不相切,那它就会穿过预算线,那么在预算线上就会有某个邻近的点处在无差异曲线的上方,这时的交点尚未处在最优消费束上。因此,只有切点处的消费束(x*,y*)才是消费者能够负担的最优消费束。